无限的空间应当能够容纳无限多的东西莫比乌斯环是个例外

2019-03-26 09:32:08来源：环球科学

制图：Olena Shmahalo/Quanta Magazine

在数学中，无限的空间应当能够容纳无限多的东西，从原子、细菌到无限多的行星都不在话下。但是，莫比乌斯环(Möbius band)是个例外。莫斯科州立大学的数学家Olga Frolkina最近证明了，著名的莫比乌斯环不能被无限次地压缩进无限大的空间中。在这篇精(bu)彩(ming)纷(jue)呈(li)的文章中，你将看到数学家如何通过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的问题。

不同的无限，大小也不尽相同。从1到无穷大的自然数集合就是最小的无限之一。自然数的集合是可数的。任何一组无限的对象，例如将无限多的原子、行星放进三维空间里，它都是可数的。理论上，你可以给所有的行星编号。

有些数集太大而无法将其中的对象一一列出。例如，实数包括数轴上的每一个点，甚至像π这样奇怪的、拥有无尽不重复小数部分的点也在内。使用由19世纪德国数学家康托尔提出的对角化(diagonalization)论证法，我们可以证明，即使是一个无限大的实数列表，也可能是不完整的。实数集明显大于自然数集。它是“不可数”的无限，或简称“不可数”。

变具象的数学

尽管如此，不可数的对象集合仍然可以存在。想象一下，如何把一个不可数的圆筒集合塞进三维空间，而不让它们互相接触。要做到这一点，你只需将所有的圆筒置于同一个轴上，使它们的直径分别对应于数轴上不可数点中的一个。这些圆筒会像一套数不尽的俄罗斯套娃，由内而外嵌套在一起。

乍一看，似乎莫比乌斯环能以类似的方式嵌套在一起。但是如果你试着在一个莫比乌斯环里面嵌套第二个环，你会发现第二个环将在第一个环的外部闭合。

对于上述的圆筒，我们很容易能区分它的内外侧。而这对于莫比乌斯环是不可能的，因为它是一类被称为非定向流形(non-orientable manifold)的有形数学对象——当你绕着它在空间中转一圈时，是无法区分固定的内外侧的。

Frolkina虽然证明了莫比乌斯环无法像圆筒一样嵌套在一起，但并没有否定它们能以更巧妙的方式嵌套的可能性。这一证明的亮点在于，它向我们展示了莫比乌斯环无法像圆筒那样嵌套的原因。

Frolkina的结果立足于一个名为点集拓扑学(point-set topology)的领域。在上世纪50至60年代，数学家们相继证明了将一系列物体(例如圆盘、中空球体)嵌入进三维空间的理论。

可以说，研究者们正在使抽象的数学变得具象。拓扑学有点像简化的几何学：重要的不是精确的形状和距离，而是大尺度的结构。

两种嵌入方式

在几何学中，球面是空间中与一个原点等距的所有点的集合，但在拓扑学中，将前面的结构随意挤压、拉伸变形，只要不将其撕裂或者粘合，它都算是一个球面。在空间中精确定位拓扑球的方法被称为嵌入。一个球能够以许多不同的形式嵌入三维空间，不论是像肥皂泡一样的完美圆球形、延展成香肠一样的形状，还是像变形虫的细胞膜一样摇晃变化，只要这些形状满足球的定义即可。

上面例子中的嵌入被称为“驯顺”嵌入(tameembedding)。驯顺嵌入可以在整个空间内延展，因此拉伸或挤压空间，可以使嵌入球面变为标准圆球形。

与此相对应，“非驯”嵌入(wild embedding)则很难可视化，通常需要利用无限来进行描述。非驯嵌入版的球面无法通过空间变形转化成圆球形。

例如，为构建亚历山大带角球(Alexander horned sphere)，首先需从一个类似于甜甜圈表面的圆环上切下一段，在切断后留下的空隙两侧分别连接两个互锁的圆环面，并如此重复：切断每个次级圆环，插入一对互锁的小圆环，随后切断更小的圆环。无数次执行这个置换过程后，你就可以得到亚历山大带角球。虽然证明该对象在拓扑学上是一个球体并不繁琐，但它是非驯嵌入的。将它放大后，你能在越来越小的尺度上看到互锁的“角”。

非驯嵌入的亚历山大带角球

像亚历山大带角球那样的非驯嵌入很难被塞进空间里。早在20世纪中叶，数学家R.H.Bing就证明了如果嵌入是驯顺的，就可以将不可数无限的球面和圆环面不重叠地嵌入三维空间。然而，圆盘就大不相同了：将不可数的圆盘不重叠地嵌入空间中是可行的，不论它们是否驯顺。

三维与更高维度

那么莫比乌斯环可以像这样被嵌入空间中吗?1962年，俄罗斯数学家Victor Vasilievich Grushin 和Victor Pavlovich Palamodov证明了，不可数个驯顺嵌入的莫比乌斯环无法被不相交地嵌入进三维空间中。但是，这对非驯嵌入的莫比乌斯环是否同样成立仍无定论。

Frolkina参考了他们和Bing等点集拓扑学家的工作，将结论延展到了非驯嵌入的莫比乌斯环上。她在论文中分解了嵌入的表面，并分析了这些切片在空间中分布的方式。

Frolkina还在高维空间中研究了相似问题。她考虑了n维(n≥3)的非定向流形，并指出：这些流形中只有可数的形式能够驯顺地嵌入n+1维的空间中。

她的工作并没有涵盖这些高维情况下的非驯嵌入。但是，莫斯科斯泰克洛夫数学研究所的数学家Sergey Melikhov审阅了她的论文后，扩展了她的工作。Melikhov使用更抽象的代数方法消除了Frolkina的结论在更高维度中的驯顺限制。二者的工作证明了不论是使用非驯还是驯顺嵌入，将不可数无限个非定向流形压缩到空间中都是绝无可能的。

点集拓扑的研究已不及60年代风光，但是Melikhov认为在另一个活跃的拓扑研究领域——纽结理论中，一些开放性问题具有“点集风格”。深入了解非驯嵌入可能在这一领域内十分有用。从某种意义上说，纽结理论中普遍存在着非驯性，因为大多数纽结都是非驯嵌在周围的空间中的。这些非驯嵌入吸引了Frolkina，因为它们挑战了人类理解的极限。拓扑学家通常把他们的研究局限在合乎直觉的空间问题上，但是“当你发现一个非驯的对象，或者一个与你的直觉相矛盾的对象时，转折点就出现了。”

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